Bài: Hai đường thẳng vuông góc

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa. Trong không gian (hoặc trong mặt phẳng) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Lấy \(O\) là một điểm bất kì, gọi \(A\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) và \(B\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Khi đó góc góc \(\widehat{AOB}\) gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), kí hiệu là \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)\).

Nhận xét

• \(0^\circ \leq \big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big) \leq 180^\circ\).
• \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)=0^\circ\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
• \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)=180^\circ\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng.
• \(\big(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\big)=90^\circ\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) gọi là vuông góc với nhau.

Chú ý. Trong định nghĩa thì \(O\) được lấy tuỳ ý. Tuy nhiên, trong lúc giải toán ta có thể chọ \(O\) trùng với điểm gốc của vectơ \(\overrightarrow{a}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\) cho đơn giản.

Ví dụ. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{B'C},\) giữa hai vectơ \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{CB'}.\)

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số thực được xác định như sau.

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\big|\overrightarrow{a}\big|.\big|\overrightarrow{b}\big|.\cos \big(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\big)\]

Xem đầy đủ ở đây.

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của \(\overrightarrow{u}\) là đường thẳng song song hoặc trùng với \(d\).

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối. Ta xét góc của hai đường thẳng trong từng vị trí tương đối đó.

• Quy ước góc giữa hai đường thẳng song song bằng \(0^\circ\).
• Quy ước góc giữa hai đường thẳng trùng nhau bằng \(0^\circ\).
• Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo thành.
• Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau \(a'\) và \(b'\) lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho. Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) ta chọn một điểm \(I\) tuỳ ý, vẽ qua \(I\) hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) lần lượt song song với hai đường thẳng \(a\) và \(b\), sau đó xác định góc giữa hai đường thẳng cắt nhau \(a'\) và \(b'\).

Chú ý. Trong định nghĩa trên thì điểm \(I\) được chọn tuỳ ý. Tuy nhiên trong bài toán cụ thể ta thường chọn điểm \(I\) thuộc một trong hai đường thẳng đã cho \(a\) hoặc \(b\) và chỉ cần vẽ thêm một đường thẳng song song để việc xác định góc đơn giản hơn.

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Định nghĩa. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ\).

Nhận xét. Hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian xảy ra 2 trường hợp:

1. Vuông góc và cắt nhau,
2. Vuông góc và chéo nhau

Ví dụ. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Ta có hai đường thẳng \(AB\) và \(BC\) vuông góc với nhau và cắt nhau. Hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C'\) vuông góc với nhau và chéo nhau.

Ta có \(BC \parallel B'C'\). Góc giữa \(AB\) và \(BC\) bằng \(90^\circ\) nên góc giữa \(AB\) và \(B'C'\) cũng bằng \(90^\circ\).