Phương trình chính tắc của đường thẳng

Lớp 10: Hình học 10, chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(a;b)\ne\overrightarrow{0}\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.\)

Trong trường hợp \(a\) và \(b\) đều khác \(0\) thì \(t=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\) ta có phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là
\[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\]

Lớp 12: Hình học 12, chương 3: Phương pháp toạ độ trong không gian

Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(a;b;c) \ne\overrightarrow{0}\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{array}\right.\)

Trong trường hợp \(a, b\) và \(c\) đều khác \(0\) thì \(t=\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\) ta có phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là
\[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\]

Video học lý thuyết và ví dụ phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) biết nó đi qua điểm \(M_(1;0;-2)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(1;2;-3)\) làm vectơ chỉ phương.

Giải. Phương trình chính tắc của đường thẳng trên là \[\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+2}{3}.\]

Chú ý. Nếu \(\overrightarrow{u}\) là một vectơ chỉ phương của \(d\) thì với mọi \(k \ne 0\), vectơ \(k\overrightarrow{u}\) cũng là vectơ chỉ phương của \(d.\) Do đó, một đường thẳng có vô số phương trình tham số, vô số phương trình chính tắc.